数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 616|回复: 40

[转载] 在 6 座岛屿之间建造 5 座桥,使它们能够联通,请问有几种建桥方案?

[复制链接]
发表于 2019-11-16 09:53:12 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
在 6 座岛屿之间建造 5 座桥,使它们能够联通,请问有几种建桥方案?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-11-18 15:18:50 | 显示全部楼层
在 2 座岛屿之间建造 1 座桥,使它们能够联通,有 1 种建桥方案。
在 3 座岛屿之间建造 2 座桥,使它们能够联通,有 3 种建桥方案。
1:12=13
2:12=23
3:13=23
在 4 座岛屿之间建造 3 座桥,使它们能够联通,有 16 种建桥方案。
01:12,13=14
02:12,13=24
03:12,13=34
04:12,14=23
05:12,14=34
06:12,23=24
07:12,23=34
08:12,24=34
09:13,14=23
10:13,14=24
11:13,23=24
12:13,23=34
13:13,24=34
14:14,23=24
15:14,23=34
16:14,24=34
在 5 座岛屿之间建造 4 座桥,使它们能够联通,有 125 种建桥方案。
004:12,13,14=15,25,35,45
007:12,13,15=24,34,45
007:12,13,23=0
010:12,13,24=25,35,45
012:12,13,25=34,45
014:12,13,34=35,45
015:12,13,35=45

018:12,14,15=23,34,35
021:12,14,23=25,35,45
021:12,14,24=0
023:12,14,25=34,35
025:12,14,34=35,45
026:12,14,35=45

029:12,15,23=24,34,45
031:12,15,24=34,35
031:12,15,25=0
033:12,15,34=35,45
034:12,15,35=45

037:12,23,24=25,35,45
039:12,23,25=34,45
041:12,23,34=35,45
042:12,23,35=45

044:12,24,25=34,35
046:12,24,34=35,45
047:12,24,35=45
049:12,25,34=35,45
050:12,25,35=45
050:12,34,35=x

053:13,14,15=23,24,25
056:13,14,23=25,35,45
059:13,14,24=25,35,45
061:13,14,25=x,35,45
061:13,14,34=0
061:13,14,35=0

064:13,15,23=24,34,45
067:13,15,24=25,34,x,45
069:13,15,25=34,45
069:13,15,34=0
069:13,15,35=0

072:13,23,24=25,35,45
074:13,23,25=34,45
076:13,23,34=35,45
077:13,23,35=45

079:13,24,25=34,35,x
081:13,24,34=35,45
082:13,24,35=45
084:13,25,34=35,45
085:13,25,35=45
085:13,34,35=0

089:14,15,23=24,25,23,35,x
091:14,15,24=34,35
093:14,15,25=34,35
093:14,15,34=0
093:14,15,35=0

096:14,23,24=25,35,45
098:14,23,25=34,x,45
100:14,23,34=35,45
101:14,23,35=45

103:14,24,25=34,35
105:14,24,34=35,45
106:14,24,35=45
108:14,25,34=35,45
109:14,25,35=45
109:14,34,35=0

112:15,23,24=25,x,35,45
114:15,23,25=34,45
116:15,23,34=35,45
117:15,23,35=45

119:15,24,25=34,35
121:15,24,34=35,45
122:15,24,35=45
124:15,25,34=35,45
125:15,25,35=45
125:15,34,35=0

在 6 座岛屿之间建造 5 座桥,使它们能够联通,有 1296 种建桥方案。
1, 3, 16, 125, 1296, .......,可以是这串数吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-18 23:54:49 | 显示全部楼层
$a_n=n^(n-2)$?怎么证明?

点评

答案确定是1296吗?  发表于 2019-11-19 22:11
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-23 09:16:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2019-11-23 10:39 编辑
王守恩 发表于 2019-11-18 15:18
在 2 座岛屿之间建造 1 座桥,使它们能够联通,有 1 种建桥方案。
在 3 座岛屿之间建造 2 座桥,使它们能 ...


回复王守恩
用最笨方法,画图验证王守恩给出的数列是正确的
{1,3,16,125,1296}
图形演示时,为了清晰,各岛采用环形布局,
希望见到理论证明
下面给出部分数据图片,供欣赏

n=2全联通的方案数1
图片文件 2岛1桥.png

2岛1桥

2岛1桥

1        1        {{1,2}}

n=3全联通的方案数3
图片文件 3岛2桥.png
3岛2桥.png

1        1        {{1,2},{1,3}}
2        2        {{1,2},{2,3}}
3        3        {{1,3},{2,3}}

n=4全联通的方案数16
图片文件 4岛3桥.png
4岛3桥.png

1        1        {{1,2},{1,3},{1,4}}
2        3        {{1,2},{1,3},{2,4}}
3        4        {{1,2},{1,3},{3,4}}
4        5        {{1,2},{1,4},{2,3}}
5        7        {{1,2},{1,4},{3,4}}
6        8        {{1,2},{2,3},{2,4}}
7        9        {{1,2},{2,3},{3,4}}
8        10        {{1,2},{2,4},{3,4}}
9        11        {{1,3},{1,4},{2,3}}
10        12        {{1,3},{1,4},{2,4}}
11        14        {{1,3},{2,3},{2,4}}
12        15        {{1,3},{2,3},{3,4}}
13        16        {{1,3},{2,4},{3,4}}
14        17        {{1,4},{2,3},{2,4}}
15        18        {{1,4},{2,3},{3,4}}
16        19        {{1,4},{2,4},{3,4}}

n=5全联通的方案数125
图片文件 5岛4桥.png(前50)
5岛4桥.png

1        1        {{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}}
2        4        {{1,2},{1,3},{1,4},{2,5}}
3        6        {{1,2},{1,3},{1,4},{3,5}}
4        7        {{1,2},{1,3},{1,4},{4,5}}
5        9        {{1,2},{1,3},{1,5},{2,4}}
6        11        {{1,2},{1,3},{1,5},{3,4}}
7        13        {{1,2},{1,3},{1,5},{4,5}}
8        19        {{1,2},{1,3},{2,4},{2,5}}
9        21        {{1,2},{1,3},{2,4},{3,5}}
10        22        {{1,2},{1,3},{2,4},{4,5}}
11        23        {{1,2},{1,3},{2,5},{3,4}}
12        25        {{1,2},{1,3},{2,5},{4,5}}
13        26        {{1,2},{1,3},{3,4},{3,5}}
14        27        {{1,2},{1,3},{3,4},{4,5}}
15        28        {{1,2},{1,3},{3,5},{4,5}}
16        29        {{1,2},{1,4},{1,5},{2,3}}
17        32        {{1,2},{1,4},{1,5},{3,4}}
18        33        {{1,2},{1,4},{1,5},{3,5}}
19        36        {{1,2},{1,4},{2,3},{2,5}}
20        38        {{1,2},{1,4},{2,3},{3,5}}
21        39        {{1,2},{1,4},{2,3},{4,5}}
22        44        {{1,2},{1,4},{2,5},{3,4}}
23        45        {{1,2},{1,4},{2,5},{3,5}}
24        47        {{1,2},{1,4},{3,4},{3,5}}
25        48        {{1,2},{1,4},{3,4},{4,5}}
26        49        {{1,2},{1,4},{3,5},{4,5}}
27        50        {{1,2},{1,5},{2,3},{2,4}}
28        52        {{1,2},{1,5},{2,3},{3,4}}
29        54        {{1,2},{1,5},{2,3},{4,5}}
30        56        {{1,2},{1,5},{2,4},{3,4}}
31        57        {{1,2},{1,5},{2,4},{3,5}}
32        62        {{1,2},{1,5},{3,4},{3,5}}
33        63        {{1,2},{1,5},{3,4},{4,5}}
34        64        {{1,2},{1,5},{3,5},{4,5}}
35        65        {{1,2},{2,3},{2,4},{2,5}}
36        67        {{1,2},{2,3},{2,4},{3,5}}
37        68        {{1,2},{2,3},{2,4},{4,5}}
38        69        {{1,2},{2,3},{2,5},{3,4}}
39        71        {{1,2},{2,3},{2,5},{4,5}}
40        72        {{1,2},{2,3},{3,4},{3,5}}
41        73        {{1,2},{2,3},{3,4},{4,5}}
42        74        {{1,2},{2,3},{3,5},{4,5}}
43        75        {{1,2},{2,4},{2,5},{3,4}}
44        76        {{1,2},{2,4},{2,5},{3,5}}
45        78        {{1,2},{2,4},{3,4},{3,5}}
46        79        {{1,2},{2,4},{3,4},{4,5}}
47        80        {{1,2},{2,4},{3,5},{4,5}}
48        81        {{1,2},{2,5},{3,4},{3,5}}
49        82        {{1,2},{2,5},{3,4},{4,5}}
50        83        {{1,2},{2,5},{3,5},{4,5}}
51        85        {{1,3},{1,4},{1,5},{2,3}}
52        86        {{1,3},{1,4},{1,5},{2,4}}
53        87        {{1,3},{1,4},{1,5},{2,5}}
54        92        {{1,3},{1,4},{2,3},{2,5}}
55        94        {{1,3},{1,4},{2,3},{3,5}}
56        95        {{1,3},{1,4},{2,3},{4,5}}
57        96        {{1,3},{1,4},{2,4},{2,5}}
58        98        {{1,3},{1,4},{2,4},{3,5}}
59        99        {{1,3},{1,4},{2,4},{4,5}}
60        101        {{1,3},{1,4},{2,5},{3,5}}
61        102        {{1,3},{1,4},{2,5},{4,5}}
62        106        {{1,3},{1,5},{2,3},{2,4}}
63        108        {{1,3},{1,5},{2,3},{3,4}}
64        110        {{1,3},{1,5},{2,3},{4,5}}
65        111        {{1,3},{1,5},{2,4},{2,5}}
66        112        {{1,3},{1,5},{2,4},{3,4}}
67        114        {{1,3},{1,5},{2,4},{4,5}}
68        115        {{1,3},{1,5},{2,5},{3,4}}
69        117        {{1,3},{1,5},{2,5},{4,5}}
70        121        {{1,3},{2,3},{2,4},{2,5}}
71        123        {{1,3},{2,3},{2,4},{3,5}}
72        124        {{1,3},{2,3},{2,4},{4,5}}
73        125        {{1,3},{2,3},{2,5},{3,4}}
74        127        {{1,3},{2,3},{2,5},{4,5}}
75        128        {{1,3},{2,3},{3,4},{3,5}}
76        129        {{1,3},{2,3},{3,4},{4,5}}
77        130        {{1,3},{2,3},{3,5},{4,5}}
78        131        {{1,3},{2,4},{2,5},{3,4}}
79        132        {{1,3},{2,4},{2,5},{3,5}}
80        134        {{1,3},{2,4},{3,4},{3,5}}
81        135        {{1,3},{2,4},{3,4},{4,5}}
82        136        {{1,3},{2,4},{3,5},{4,5}}
83        137        {{1,3},{2,5},{3,4},{3,5}}
84        138        {{1,3},{2,5},{3,4},{4,5}}
85        139        {{1,3},{2,5},{3,5},{4,5}}
86        141        {{1,4},{1,5},{2,3},{2,4}}
87        142        {{1,4},{1,5},{2,3},{2,5}}
88        143        {{1,4},{1,5},{2,3},{3,4}}
89        144        {{1,4},{1,5},{2,3},{3,5}}
90        147        {{1,4},{1,5},{2,4},{3,4}}
91        148        {{1,4},{1,5},{2,4},{3,5}}
92        150        {{1,4},{1,5},{2,5},{3,4}}
93        151        {{1,4},{1,5},{2,5},{3,5}}
94        156        {{1,4},{2,3},{2,4},{2,5}}
95        158        {{1,4},{2,3},{2,4},{3,5}}
96        159        {{1,4},{2,3},{2,4},{4,5}}
97        160        {{1,4},{2,3},{2,5},{3,4}}
98        162        {{1,4},{2,3},{2,5},{4,5}}
99        163        {{1,4},{2,3},{3,4},{3,5}}
100        164        {{1,4},{2,3},{3,4},{4,5}}
101        165        {{1,4},{2,3},{3,5},{4,5}}
102        166        {{1,4},{2,4},{2,5},{3,4}}
103        167        {{1,4},{2,4},{2,5},{3,5}}
104        169        {{1,4},{2,4},{3,4},{3,5}}
105        170        {{1,4},{2,4},{3,4},{4,5}}
106        171        {{1,4},{2,4},{3,5},{4,5}}
107        172        {{1,4},{2,5},{3,4},{3,5}}
108        173        {{1,4},{2,5},{3,4},{4,5}}
109        174        {{1,4},{2,5},{3,5},{4,5}}
110        176        {{1,5},{2,3},{2,4},{2,5}}
111        178        {{1,5},{2,3},{2,4},{3,5}}
112        179        {{1,5},{2,3},{2,4},{4,5}}
113        180        {{1,5},{2,3},{2,5},{3,4}}
114        182        {{1,5},{2,3},{2,5},{4,5}}
115        183        {{1,5},{2,3},{3,4},{3,5}}
116        184        {{1,5},{2,3},{3,4},{4,5}}
117        185        {{1,5},{2,3},{3,5},{4,5}}
118        186        {{1,5},{2,4},{2,5},{3,4}}
119        187        {{1,5},{2,4},{2,5},{3,5}}
120        189        {{1,5},{2,4},{3,4},{3,5}}
121        190        {{1,5},{2,4},{3,4},{4,5}}
122        191        {{1,5},{2,4},{3,5},{4,5}}
123        192        {{1,5},{2,5},{3,4},{3,5}}
124        193        {{1,5},{2,5},{3,4},{4,5}}
125        194        {{1,5},{2,5},{3,5},{4,5}}


n=6全联通的方案数1296
图片文件 6岛5桥.png(前50)
6岛5桥.png
1        1        {{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6}}
2        5        {{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,6}}
3        8        {{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{3,6}}
4        10        {{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{4,6}}
5        11        {{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{5,6}}
6        14        {{1,2},{1,3},{1,4},{1,6},{2,5}}
7        17        {{1,2},{1,3},{1,4},{1,6},{3,5}}
8        19        {{1,2},{1,3},{1,4},{1,6},{4,5}}
9        21        {{1,2},{1,3},{1,4},{1,6},{5,6}}
10        39        {{1,2},{1,3},{1,4},{2,5},{2,6}}
11        42        {{1,2},{1,3},{1,4},{2,5},{3,6}}
12        44        {{1,2},{1,3},{1,4},{2,5},{4,6}}
13        45        {{1,2},{1,3},{1,4},{2,5},{5,6}}
14        47        {{1,2},{1,3},{1,4},{2,6},{3,5}}
15        49        {{1,2},{1,3},{1,4},{2,6},{4,5}}
16        51        {{1,2},{1,3},{1,4},{2,6},{5,6}}
17        57        {{1,2},{1,3},{1,4},{3,5},{3,6}}
18        59        {{1,2},{1,3},{1,4},{3,5},{4,6}}
19        60        {{1,2},{1,3},{1,4},{3,5},{5,6}}
20        61        {{1,2},{1,3},{1,4},{3,6},{4,5}}
21        63        {{1,2},{1,3},{1,4},{3,6},{5,6}}
22        64        {{1,2},{1,3},{1,4},{4,5},{4,6}}
23        65        {{1,2},{1,3},{1,4},{4,5},{5,6}}
24        66        {{1,2},{1,3},{1,4},{4,6},{5,6}}
25        68        {{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},{2,4}}
26        71        {{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},{3,4}}
27        74        {{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},{4,5}}
28        75        {{1,2},{1,3},{1,5},{1,6},{4,6}}
29        87        {{1,2},{1,3},{1,5},{2,4},{2,6}}
30        90        {{1,2},{1,3},{1,5},{2,4},{3,6}}
31        92        {{1,2},{1,3},{1,5},{2,4},{4,6}}
32        93        {{1,2},{1,3},{1,5},{2,4},{5,6}}
33        101        {{1,2},{1,3},{1,5},{2,6},{3,4}}
34        104        {{1,2},{1,3},{1,5},{2,6},{4,5}}
35        105        {{1,2},{1,3},{1,5},{2,6},{4,6}}
36        108        {{1,2},{1,3},{1,5},{3,4},{3,6}}
37        110        {{1,2},{1,3},{1,5},{3,4},{4,6}}
38        111        {{1,2},{1,3},{1,5},{3,4},{5,6}}
39        116        {{1,2},{1,3},{1,5},{3,6},{4,5}}
40        117        {{1,2},{1,3},{1,5},{3,6},{4,6}}
41        119        {{1,2},{1,3},{1,5},{4,5},{4,6}}
42        120        {{1,2},{1,3},{1,5},{4,5},{5,6}}
43        121        {{1,2},{1,3},{1,5},{4,6},{5,6}}
44        131        {{1,2},{1,3},{1,6},{2,4},{2,5}}
45        134        {{1,2},{1,3},{1,6},{2,4},{3,5}}
46        136        {{1,2},{1,3},{1,6},{2,4},{4,5}}
47        138        {{1,2},{1,3},{1,6},{2,4},{5,6}}
48        140        {{1,2},{1,3},{1,6},{2,5},{3,4}}
49        143        {{1,2},{1,3},{1,6},{2,5},{4,5}}
50        144        {{1,2},{1,3},{1,6},{2,5},{4,6}}
51        152        {{1,2},{1,3},{1,6},{3,4},{3,5}}
52        154        {{1,2},{1,3},{1,6},{3,4},{4,5}}
53        156        {{1,2},{1,3},{1,6},{3,4},{5,6}}
54        158        {{1,2},{1,3},{1,6},{3,5},{4,5}}
55        159        {{1,2},{1,3},{1,6},{3,5},{4,6}}
56        164        {{1,2},{1,3},{1,6},{4,5},{4,6}}
57        165        {{1,2},{1,3},{1,6},{4,5},{5,6}}
58        166        {{1,2},{1,3},{1,6},{4,6},{5,6}}
59        203        {{1,2},{1,3},{2,4},{2,5},{2,6}}
60        206        {{1,2},{1,3},{2,4},{2,5},{3,6}}
61        208        {{1,2},{1,3},{2,4},{2,5},{4,6}}
62        209        {{1,2},{1,3},{2,4},{2,5},{5,6}}
63        211        {{1,2},{1,3},{2,4},{2,6},{3,5}}
64        213        {{1,2},{1,3},{2,4},{2,6},{4,5}}
65        215        {{1,2},{1,3},{2,4},{2,6},{5,6}}
66        221        {{1,2},{1,3},{2,4},{3,5},{3,6}}
67        223        {{1,2},{1,3},{2,4},{3,5},{4,6}}
68        224        {{1,2},{1,3},{2,4},{3,5},{5,6}}
69        225        {{1,2},{1,3},{2,4},{3,6},{4,5}}
70        227        {{1,2},{1,3},{2,4},{3,6},{5,6}}
71        228        {{1,2},{1,3},{2,4},{4,5},{4,6}}
72        229        {{1,2},{1,3},{2,4},{4,5},{5,6}}
73        230        {{1,2},{1,3},{2,4},{4,6},{5,6}}
74        231        {{1,2},{1,3},{2,5},{2,6},{3,4}}
75        234        {{1,2},{1,3},{2,5},{2,6},{4,5}}
76        235        {{1,2},{1,3},{2,5},{2,6},{4,6}}
77        238        {{1,2},{1,3},{2,5},{3,4},{3,6}}
78        240        {{1,2},{1,3},{2,5},{3,4},{4,6}}
79        241        {{1,2},{1,3},{2,5},{3,4},{5,6}}
80        246        {{1,2},{1,3},{2,5},{3,6},{4,5}}
81        247        {{1,2},{1,3},{2,5},{3,6},{4,6}}
82        249        {{1,2},{1,3},{2,5},{4,5},{4,6}}
83        250        {{1,2},{1,3},{2,5},{4,5},{5,6}}
84        251        {{1,2},{1,3},{2,5},{4,6},{5,6}}
85        252        {{1,2},{1,3},{2,6},{3,4},{3,5}}
86        254        {{1,2},{1,3},{2,6},{3,4},{4,5}}
87        256        {{1,2},{1,3},{2,6},{3,4},{5,6}}
88        258        {{1,2},{1,3},{2,6},{3,5},{4,5}}
89        259        {{1,2},{1,3},{2,6},{3,5},{4,6}}
90        264        {{1,2},{1,3},{2,6},{4,5},{4,6}}
91        265        {{1,2},{1,3},{2,6},{4,5},{5,6}}
92        266        {{1,2},{1,3},{2,6},{4,6},{5,6}}
93        267        {{1,2},{1,3},{3,4},{3,5},{3,6}}
94        269        {{1,2},{1,3},{3,4},{3,5},{4,6}}
95        270        {{1,2},{1,3},{3,4},{3,5},{5,6}}
96        271        {{1,2},{1,3},{3,4},{3,6},{4,5}}
97        273        {{1,2},{1,3},{3,4},{3,6},{5,6}}
98        274        {{1,2},{1,3},{3,4},{4,5},{4,6}}
99        275        {{1,2},{1,3},{3,4},{4,5},{5,6}}
100        276        {{1,2},{1,3},{3,4},{4,6},{5,6}}
------
1290        2728        {{1,6},{2,6},{3,5},{3,6},{4,6}}
1291        2730        {{1,6},{2,6},{3,5},{4,5},{4,6}}
1292        2731        {{1,6},{2,6},{3,5},{4,5},{5,6}}
1293        2732        {{1,6},{2,6},{3,5},{4,6},{5,6}}
1294        2733        {{1,6},{2,6},{3,6},{4,5},{4,6}}
1295        2734        {{1,6},{2,6},{3,6},{4,5},{5,6}}
1296        2735        {{1,6},{2,6},{3,6},{4,6},{5,6}}

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-11-24 17:40:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-11-24 17:59 编辑
dlpg070 发表于 2019-11-23 09:16
回复王守恩
用最笨方法,画图验证王守恩给出的数列是正确的
{1,3,16,125,1296}


在五座岛屿之间建造四座桥,使它们能够联通,请问有几种建桥方案?

1,给 5 个岛编上号:1,2,3,4,5;
     给10座桥编上号:12,13,14,15,23,24,25,34,35,45。
     每种建桥方案就是在这10座桥中选择合适的4座桥(8个数字),
2,我们注意到:在满意的答案里,每个岛出现的次数肯定是相同的,
    我们只要统计 “1” 出现的次数就可以了
    “1”出现4个:4×1=12,13,14,15出现1次
    “1”出现3个:3×4×3=12,13,14,12,13,15,12,14,15,13,14,15 各出现3次,
    “1”出现2个:2×6×8=12,13,12,14,12,15,13,14,13,15,14,15 各出现8次,
    “1”出现1个:1×4×16=12,13,14,15 各出现16次。
     4×1+3×4×3+2×6×8+1×4×16=200
     200×5(个岛)÷8(8个数字4座桥)=125,可以有 125 种建桥方案。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-24 19:37:57 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-11-24 17:40
在五座岛屿之间建造四座桥,使它们能够联通,请问有几种建桥方案?

1,给 5 个岛编上号:1,2,3,4 ...

如何理解:
200×5(个岛)÷8(8个数字4座桥)=125,可以有 125 种建桥方案。
6岛5桥如何分析?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-11-24 21:46:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-11-25 07:44 编辑
dlpg070 发表于 2019-11-24 19:37
如何理解:
200×5(个岛)÷8(8个数字4座桥)=125,可以有 125 种建桥方案。
6岛5桥如何分析?


在六座岛屿之间建造五座桥,使它们能够联通,请问有几种建桥方案?

1,给 6 个岛编上号:1,2,3,4,5,6;
     给15座桥编上号:12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56。
     每种建桥方案就是在这15座桥中选择合适的5座桥(10个数字),
2,我们注意到:在满意的答案里,每个岛出现的次数肯定是相同的,
    我们只要统计 “1” 出现的次数就可以了
    “1”出现5个:5×1=12,13,14,15,16出现1次
    “1”出现4个:4×5×4=12,13,14,15,12,13,14,16,12,13,15,16,12,14,15,16,13,14,15,16 各出现4次,
    “1”出现3个:3×10×15=12,13,14,12,13,15,12,13,16,12,14,15,12,14,16,12,15,16,13,14,15,13,14,16,13,15,16,14,15,16 各出现3次,
    “1”出现2个:2×10×50=12,13,12,14,12,15,12,16,13,14,13,15,13,16,14,15,14,16,15,16 各出现50次,
    “1”出现1个:1×5×125=12,13,14,15,16 各出现125次。
     5×1+4×5×4+3×10×15+2×10×50+1×5×125=2160
     2160×6(个岛)÷10(10个数字5座桥)=1296,可以有 1296 种建桥方案。
补充:
1,“1”出现4个与“1”出现1个是互补的一对;“1”出现3个与“1”出现2个是互补的一对。
2,可以这样来理解 “1”:每种方案肯定有”1“,
     5岛4桥已经有125种满意的答案,我们把 “125” 里的每个数字都+1,
     变成没有”1“的方案,......“1”×5×125=12,13,14,15,16 各出现125次,......
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-27 12:42:39 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2019-11-23 09:16
回复王守恩
用最笨方法,画图验证王守恩给出的数列是正确的
{1,3,16,125,1296}

代码?

点评

方法太笨,代码太丑,勉强能用,不敢贴出  发表于 2019-11-27 14:13
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-27 16:25:22 | 显示全部楼层

谦虚了。思路可以说说
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-28 12:48:18 | 显示全部楼层
markfang2050 发表于 2019-11-27 16:25
谦虚了。思路可以说说

盛情难却,说说解题思路,希望对你编写此题漂亮的代码有点帮助
你看到我的函数和变量命名何等丑陋,但一旦测试Ok后,我轻易不敢修改
1---解题思路:
整个解题过程分3部分
1 给出组合数对应的列表
  例如 n岛建桥的类型总数n0=Binomial[n,2]
  需要给出这n0个列表
  我用的办法:
  对岛编号 1#,---,n#
  给出相应的排列,
  选择由小到大排列的项
  例如 n=4 n0=6 得到
  tup2={{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}}
  
  对 tot=Binomial[Binomial[n,2],n-1] 亦如此
2 用剔除法(减法) 求解
  首先 得到tot项的总建桥方案列表 :tup2line (包括全联通,有孤岛,2个或多个部分联通)
  分析每个方案,剔除不符合要求的方案(有孤岛或不全联通),得到满足要求的解
  设计有2个分析函数
    farr[] 返回n元素数组(各岛建桥数)---用于判别该方案是否有无桥的孤岛
    isok[] 返回n元素数组(各岛联通状态 )---用于判别该方案是否全联通
  
3 画图演示
  演示贯穿于计算全过程,用于发现计算代码的逻辑错误和手误,已经贴出过类似代码
     
2---小结
n  岛数
n0=  Binomial[n,2]
tot= Binomial[Binomial[n,2],n-1] 总建桥方案数(包括全联通,有孤岛,2个或多个部分联通)
n1   去掉孤岛的建桥方案数
res  再去掉部分联通的建桥方案,即得到全联通的建桥方案数
n    n0       tot    n1    res
2    1        1      1     1
3    3        3      3     3
4    6        20     16    16
5    10       210    135   125
6    15       3003   1581  1296

3--- 下面是一个例子
n=4  建桥方案
n0= Binomial[4,2]=6
tup2={{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}}
tot= Binomial[Binomial[4,2],4-1]= 20 总建桥方案数

line 一个建桥方案  例如: {{1,2},{1,3},{1,4}}  数字代表岛的编号,{1,2}表示1#岛和2#岛之间的桥,从小到大排序
arr n个元素的数组  例如: {True,{3,1,1,1}}  数组表示各岛的桥头数(0,1,2---,n-1),各元素之和 2(n-1),前部的True
                   表示元素值没有0,即没有无桥的孤岛
r   n个元素的数组  例如: {4,{1,1,1,1}}  数组表示各岛联通情况,1--- 联通, 0---不联通 (1,2---,n-1),
                   各元素都是1,表示全联通,即前部的数字=n
含分析的中间结果
注意 2,6,13,20 *不满足要求
1        1        {1,{{1,2},{1,3},{1,4}},{True,{3,1,1,1}},{4,{1,1,1,1}}}
2        2        {2,{{1,2},{1,3},{2,3}},{False,{2,2,2,0}},{3,{1,1,1,0}}} *不满足要求
3        3        {3,{{1,2},{1,3},{2,4}},{True,{2,2,1,1}},{4,{1,1,1,1}}}
4        4        {4,{{1,2},{1,3},{3,4}},{True,{2,1,2,1}},{4,{1,1,1,1}}}
5        5        {5,{{1,2},{1,4},{2,3}},{True,{2,2,1,1}},{4,{1,1,1,1}}}
6        6        {6,{{1,2},{1,4},{2,4}},{False,{2,2,0,2}},{3,{1,1,0,1}}} *不满足要求
7        7        {7,{{1,2},{1,4},{3,4}},{True,{2,1,1,2}},{4,{1,1,1,1}}}
8        8        {8,{{1,2},{2,3},{2,4}},{True,{1,3,1,1}},{4,{1,1,1,1}}}
9        9        {9,{{1,2},{2,3},{3,4}},{True,{1,2,2,1}},{4,{1,1,1,1}}}
10        10        {10,{{1,2},{2,4},{3,4}},{True,{1,2,1,2}},{4,{1,1,1,1}}}
11        11        {11,{{1,3},{1,4},{2,3}},{True,{2,1,2,1}},{4,{1,1,1,1}}}
12        12        {12,{{1,3},{1,4},{2,4}},{True,{2,1,1,2}},{4,{1,1,1,1}}}
13        13        {13,{{1,3},{1,4},{3,4}},{False,{2,0,2,2}},{3,{1,0,1,1}}} *不满足要求
14        14        {14,{{1,3},{2,3},{2,4}},{True,{1,2,2,1}},{4,{1,1,1,1}}}
15        15        {15,{{1,3},{2,3},{3,4}},{True,{1,1,3,1}},{4,{1,1,1,1}}}
16        16        {16,{{1,3},{2,4},{3,4}},{True,{1,1,2,2}},{4,{1,1,1,1}}}
17        17        {17,{{1,4},{2,3},{2,4}},{True,{1,2,1,2}},{4,{1,1,1,1}}}
18        18        {18,{{1,4},{2,3},{3,4}},{True,{1,1,2,2}},{4,{1,1,1,1}}}
19        19        {19,{{1,4},{2,4},{3,4}},{True,{1,1,1,3}},{4,{1,1,1,1}}}
20        20        {20,{{2,3},{2,4},{3,4}},{False,{0,2,2,2}},{3,{0,1,1,1}}} *不满足要求


含不满足要求的中间结果对应图形
4岛3桥tmp.png
4岛3桥tmp.png

根据中间结果,很容易得到正确结果 !!!

注意 2,6,13,20 *不满足要求

4---改进的设想(直接生成(加法)建桥方案)
   正在进行,速度快些,存储空间少很多,算法麻烦些,希望找到通项,类似王守恩的方法

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2019-12-16 02:50 , Processed in 0.088406 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表