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[讨论] 比较(100/99)^100、(101/100)^100和e的 大小

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发表于 2019-11-15 12:41:32 | 显示全部楼层 |阅读模式

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这是邻居儿子高中复习卷的一道题,显然(100/99)^100和e难一眼看出来,其它两对很容易 ,他问了许多同志都没有找到答案,已经困惑了三年多。考试中当然不能借助计算器,没有更好的办法,只好认为这题用于高中复习明显是不妥当的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-15 13:14:44 | 显示全部楼层
著名的e极限啊不难吧
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-11-15 13:23:24 | 显示全部楼层
不会就难,您说说。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-15 13:51:37 | 显示全部楼层
dlsh 发表于 2019-11-15 13:23
不会就难,您说说。

\((\frac{2}{1})^2>e>(\frac{3}{2})^2\)
\((\frac{3}{2})^3>e>(\frac{4}{3})^3\)
\((\frac{4}{3})^4>e>(\frac{5}{4})^4\)
\((\frac{5}{4})^5>e>(\frac{6}{5})^5\)
\((\frac{6}{5})^6>e>(\frac{7}{6})^6\)
\((\frac{7}{6})^7>e>(\frac{8}{7})^7\)
\((\frac{8}{7})^8>e>(\frac{9}{8})^8\)

点评

谢谢老师  发表于 2019-11-15 20:33
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-15 13:59:33 | 显示全部楼层
现在考试有指定计算器吧,分别求自然对数来比较而已。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-15 16:44:31 | 显示全部楼层
1. (1+1/99)^100>(1+1/100)^100;
2.对(1+1/x)^x求导,证明当x>0时一阶导>0恒成立,即e>(1+1/100)^100;
3.对(1+1/(x-1))^x求导,证明当x>0时一阶导<0恒成立;
4. lim(x->+∞)(1+1/(x-1))^x=lim(x->+∞)e*(1+1/(x-1))=e,即(1+1/99)^100>e;
5综上,(1+1/99)^100>e>(1+1/100)^100
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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