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[讨论] 一天内,时分秒三针形成的夹角为90°的情况有多少次?

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发表于 2019-11-14 14:51:38 | 显示全部楼层 |阅读模式

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(1)时针分针秒针两两之间有三个夹角,构成的夹角为90°的情况有多少次?
(2)最小夹角大于 90° 的时间占一天中的多少?
假定时钟的指针是连续走的,不是一格一格跳的。第一个问题我算出来的是5748,别人的答案是5752。

点评

什么叫做"任意两针形成的夹角为90°"  发表于 2019-11-14 15:42
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-14 17:25:41 | 显示全部楼层
24*60*2 - 2 - 2 + 24*60*2 - 24*2 + 24*2 - 2 - 2 = 5752
这样?

点评

哦,3点和9点,是吧。  发表于 2019-11-15 10:49
有两个时刻重复计数了  发表于 2019-11-14 21:53
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-15 09:43:27 | 显示全部楼层
风云剑 发表于 2019-11-14 17:25
24*60*2 - 2 - 2 + 24*60*2 - 24*2 + 24*2 - 2 - 2 = 5752
这样?

直接计算机模拟吧!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-11-15 10:58:43 | 显示全部楼层
markfang2050 发表于 2019-11-15 09:43
直接计算机模拟吧!

计算机模拟不好做,因为秒针是连续走的。
其实这题目不难分析,秒针走一圈会和时针形成两次90度,和分针形成两次90度,分针走一圈会和时针形成两次90度,但是容易重复计数,需要仔细分析,哪些时刻会重复。
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发表于 2019-11-15 11:00:22 | 显示全部楼层
风云剑 发表于 2019-11-15 10:58
计算机模拟不好做,因为秒针是连续走的。
其实这题目不难分析,秒针走一圈会和时针形成两次90度,和分针 ...

可以步长取很小
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 楼主| 发表于 2019-11-17 16:18:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 chyanog 于 2019-11-17 16:27 编辑

设t时刻(t∈[0,24)),时针与分针、时针与秒针、分针与秒针的夹角分为为θ1、θ2、θ3,那么
\[\theta1(t)=\cos ^{-1}\left(\cos \left(\frac{11 \pi \ t}{6}\right)\right)=\pi- \left| \pi-\frac{11 \pi }{6}\ {\it mod} \left( t,{\frac{12}{11}} \right)  \right|  \]

\[\theta2(t)=\cos ^{-1}\left(\cos \left(\frac{719 \pi  \ t}{6}\right)\right)=\pi- \left| \pi-\frac{719 \pi }{6}  \ {\it mod} \left( t,{\frac{12}{719}} \right)  \right|\]

\[\theta3(t)=\cos ^{-1}(\cos (118 \pi  \ t)) =\pi- \left| \pi-118 \pi \ {\it mod} \left( t,{\frac{1}{59}} \right) \right|\]
然后用Mathematica解方程,可以发现3点和9点被重复计数了
20191117160122.png
最小夹角大于 90° 的时间占比
20191117162410.png
  1. θ1[t_] := ArcCos[Cos[(11 π t)/6]];
  2. θ2[t_] := ArcCos[Cos[(719 π t)/6]];
  3. θ3[t_] := ArcCos[Cos[118 π t]];

  4. sol = Solve[{θ1[t] == π/2 || θ2[t] == π/2 || θ3[t] == π/2,  0 <= t < 24}, t];
  5. Length[sol]
  6. Length[Union[sol]]
  7. MaximalBy[Tally[sol], Last]

  8. ineq = Reduce[{PiecewiseExpand[Min[θ1[t], θ2[t], θ3[t]] > π/2], 0 <= t < 12}, t]; // AbsoluteTiming
  9. 1/12 Integrate[Boole[ineq], {t, 0, 12}]
  10. N[%]
复制代码
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发表于 2019-11-18 03:43:46 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-11-18 10:45 编辑

重合是关键。按12小时为单位来计算。
12小时内,分针与时针重合:12×1-1=11次,
12小时内,分针与秒针重合:12×59-1=708次,
12小时内,时针与秒针重合:12×60-1=719次,
三针重合不能算2次,要减 1 次,
合计 11 + 708 + 719 - 1=1437 次
重合 = 0°,即出现 180° 的次数也是 1437 次。
在每次 0° 后,会出现一次小于180°的夹角,
在每次 0° 前,会出现一次小于180°的夹角,
12小时内,出现小于180°夹角情况有1437×2 次。

$x$ 时 $y$ 分 $z$ 秒=\(\D\bigg(\frac{3600x+60y+z}{120}\bigg)^\circ\)
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发表于 2019-11-18 08:57:34 | 显示全部楼层
可以设在$x:y:z$时刻表示 $x$小时$y$分$z$秒.  $x$ 是$[0,23]$的正整数,$y$是$[0,59]$的正整数,$z$是正实数.   则对应的各个针走的角度[相对于零点]是 $\alpha = (x+y/60+z/3600)/{12} 2\pi,   \beta = (y+z/60)/{60}2\pi, \gamma = z/60*2\pi$
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发表于 2019-11-18 18:40:26 | 显示全部楼层
  1. ans=Tally[Flatten[Outer[Solve[Abs[Subtract@@#1]==#2&&0<=x<12&&0<=y<60&&0<=z<60&&Element[x|y,Integers]]&,Subsets[{(x+y/60+z/3600)/12,(y+z/60)/60,z/60},{2}],{1,3}/4,1],2]];
  2. {2Length[ans],Select[ans,#[[2]]>1&]}
复制代码
{5748, {{{x -> 3, y -> 0, z -> 0}, 2}, {{x -> 9, y -> 0, z -> 0}, 2}}}

算得答案是$ 5748$, 然后统计得到的是3点和9点,分别重复两次.
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 楼主| 发表于 2019-11-18 19:41:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 chyanog 于 2019-11-18 19:58 编辑
wayne 发表于 2019-11-18 18:40
算得答案是$ 5748$, 然后统计得到的是3点和9点,分别重复两次.


按你的思路我也写了一个。如果要解不等式,用一个变量更方便点。
  1. {θH,θM,θS}={2π/12 (h+m/60+s/3600), 2π/60 (m+s/60), 2π s/60};
  2. sol=Solve[{AnyTrue[{θH-θM,θH-θS,θM-θS},Mod[#,π]==π/2&],0<=h<12,0<=m<60,0<=s<60,(h|m)∈Integers},{h,m,s}];
  3. 2 Length[sol]

  4. {θH,θM,θS}={1/12 (h+m/60+s/3600), 1/60 (m+s/60), 1/60 s};
  5. sol=Solve[{Outer[Equal,{θH-θM,θH-θS,θM-θS},Range[-3/4,3/4,1/2]]/.List->Or,0<=h<12,0<=m<60,0<=s<60,(h|m)∈Integers},{h,m,s}];
  6. 2 Length[sol]
复制代码

点评

進一步優化: HMS={1/12 (h+m/60+s/3600),1/60 (m+s/60), s/60}; sol=Solve[{AnyTrue[Subtract@@@Subsets[HMS,{2}],Mod[#,1/2]==1/4&],0<=h<12,0<=m<60,0<=s<60,(h|m)\[Element]Integers},{h,m,s}];   发表于 2019-11-19 09:40
漂亮  发表于 2019-11-19 09:35
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