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[提问] 求三角形ABC的面积(有点难)

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发表于 2019-8-29 11:29:39 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图,三角形ABC中, 角B=45°, AE=CD且AE⊥CD,
三角形BDE面积等于30,
BE:EC=5:6,
求三角形ABC的面积。

QQ截图20190829112437.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-8-29 14:21:54 | 显示全部楼层
我用的是解析几何的办法, 不知道还有没有别的办法, 这个办法,让我手算, 估计我自己算不出来!

  1. (*求△ABC的面积(有点难) *)
  2. (*把B放在原点, 假设C点的坐标是(11c, 0), 那么E点(5c, 0),
  3. 由于∠B=45°, 可假设D(d, d), A(a, a), 计算出向量CD, 向量EA,
  4. 利用向量的长度相等, 向量内积等于零(垂直), 以及△BDE的面积=30,
  5. 列出三个方程, 然后求解三个未知数*)
  6. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  7. out=Grid@FullSimplify@Solve[
  8. {
  9.     (*向量EA与向量CD长度相等*)
  10.     (a-5c)^2+(a-0)^2==(d-11c)^2+(d-0)^2,
  11.     (*向量EA与向量CD内积等于零*)
  12.     (a-5c)(d-11c)+(a-0)(d-0)==0,
  13.     (*△BDE面积=30*)
  14.     1/2·d·5c==30,
  15.      (*过滤条件*)
  16.     a>0, c>0
  17. },
  18. {c,d,a}]
复制代码

求解结果
\[
\begin{array}{ccc}
c\to 2 & d\to 6 & a\to 16 \\
\end{array}
\]
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-8-29 17:29:42 | 显示全部楼层
B06F5441-26E9-4B36-939C-B1D2F63EFA3C.jpeg
如图,AE丄CD 将其交点 F 约束在半圆AC截于△ABC内的GH弧段。
当F从G滑动到H时,相应地E从G滑动到B,D从B滑动到H,
记∠EAG=∠DCB=θ, 以A为极坐标系原点,AG为极轴,则
`ρ_{AE}(θ)`在极坐标系中的图线即线段GB
`ρ_{CD}(θ)`在极坐标系中的图线即线段B’H’(图中红线)
(等腰直角△AB'H'为等腰直角△CBH旋转而至)
由于两线段最多只有一个交点,故使得AE=CD的点 F 位置是唯一的。
由AB’=CB, AG=BG得 CG=GB’, 又GB’=EG,所以 EG=GC。

于是设 $BE=5x,EC=6x$,则
$EG=GC=3x, BG=BE+EG=8x, BD=B'E=3\sqrt2x, AB=8\sqrt2x$,
所以
\(\D\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle BDE}}=\frac{AB\cdot BC}{BD\cdot BE}=\frac{88}{15}\longrightarrow S_{\triangle ABC}=\frac{88}{15}S_{\triangle BDE}=176\)
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发表于 2019-8-29 22:35:42 | 显示全部楼层
设AE,CD交于F,三角形ABC面积为S。而三角形BCD面积为66, 所以BD/AB=66/S
三角形ADE的面积为${5S}/11-30$,三角形AFC面积为${6S}/11$,所以$DF:FC={5S}/11-30:{6S}/11=5S-330:6S$
同样我们还可以得出$EF:FA=36:S-66$。
现在设$a=AE=CD$,于是$EF={36a}/{S-30}$, 其中$S-30=a^2/2$, 所以$EF=72/a,FA={S-66}/36*72/a={2(S-66)}/a$
同样$DF={5S-330}/{11S-330}a={2(5S-330)}/{11a}, FC={12S}/{11a}$, 后面还得使用勾股定理计算AD,CE,再根据比例计算BD,EC,最后在三角形BDE中使用正弦定理计算其面积可以得出关于变量a的方程,还是挺麻烦的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-8-30 20:16:16 | 显示全部楼层
为简化坐标,先不考虑三角形BDE面积等于30这个条件(这个条件独立于其他条件),以E为原点,BC为横轴建立坐标系。
假设$B(-5,0),C(6,0),A(x_0,k*x_0),D(x_1,y_1).$
那么由角B=45°知$y_1=x_1+5,k*x_0=x_0+5$,
由AE=CD且AE垂直于CD,知$6-x_1=k*x_0,y_1=-1/k(x_1-6)=x_0,$
所以$x_0=x_1+5,x_0+x_1=1$,即$x_0=3,x_1=-2$,即$(BD)/(AB)=3/8.$
所以$(△ABC)/(△BDE)=(BC)/(BE)*(AB)/(BD)=11/5*8/3=88/15.$

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可怕的算法  发表于 2019-8-31 01:32
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 楼主| 发表于 2019-8-31 08:10:38 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2019-8-30 20:16
为简化坐标,先不考虑三角形BDE面积等于30这个条件(这个条件独立于其他条件),以E为原点,BC为横轴建立坐 ...

最让我能理解的,就是解析几何的办法,直接列方程组,然后把方程交给mathematica计算!
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发表于 2019-9-2 01:11:24 | 显示全部楼层
3D00EFCE-63A9-44AD-A841-542FD104BD84.jpeg
记A、D在BC上的投影(垂足)为G、F,
易得RT△AGE≌RT△CFD → AG=CF,EG=DF
又AG=BG → BG=CF → BF=GC, 加上BF=DF →EG=GC。
于是设BE=5a, 则EC=6a, EG=GC=BF=DF=3a,
三角形BDE面积=3a·5a/2=30,得a=2
三角形ABC面积=BC·AG/2=22·16/2=176

点评

这个是正确的,所以那些错误的都给你删除了.  发表于 2019-9-3 19:20

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hujunhua + 6 + 4 + 6 + 6 + 6 比较简明,赞一个!

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发表于 2019-9-2 20:50:09 | 显示全部楼层
IMG_20190902_194816.jpg
如图,视CD为AE旋转90度而得,对应点为A→D、E→C,
记AE与CD的交点为G(图中未标)。
分别作以AD,EC为直径的圆(图中未画出),得异于G的交点F即为旋转中心。
按90⁰的旋转关系,知⊿AFD, ⊿EFC为等腰直角⊿。
故当∠B=45⁰时,有平行四边形BEFD, 及
(∠AFE=∠DFC=∠AFC=135⁰,所以△AFE≌△DFC≌△AFC,这不重要)
        BD=EC/√2, DA=BE√2

点评

浙江大学的学生就是聪明!  发表于 2019-9-3 08:37
呵呵, 手机在线GeoGebra画图,截屏裁剪这么大!  发表于 2019-9-2 21:00

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mathe + 6 + 6 很给力!

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